Известно, что Анатолий Квашнин в течение месяца боролся с коронавирусом, была даже назначена операция, но в ночь на 7 января произошел инфаркт, и он скончался.
В 1999 году Квашнин руководил в Дагестане боевыми действиями против вторгнувшихся из Чечни бандформирований. Закрытым указом президента Бориса Ельцина от 27 октября 1999 года Анатолий Квашнин был удостоен звания Героя Российской Федерации с вручением медали "Золотая Звезда". Как сказано в наградном формуляре - "за успешное выполнение заданий по уничтожению незаконных вооруженных формирований в Северо-Кавказском регионе и проявленные при этом мужество и героизм".
Кроме того, в 1999 году принимал участие в планировании операции батальона российских Воздушно-десантных войск по взятию под контроль аэропорта Сплатина в Косово - речь идет о знаменитом марш-броске наших десантников на Приштину. Целью операции было недопущение вторжения сухопутных сил НАТО в Косово.