Встретились три математика. 1-й математик загадал два числа больше ноля, потом сказал 2-му их сумму, а 3-му их произведение. Дальше между 2-м и 3-м математиками произошел такой разговор:
> 1-й математик загадал два числа больше ноля, потом сказал 2-му их сумму, а 3-му их произведение. Дальше между 2-м и 3-м математиками произошел такой разговор:
>
> 1-й: Не знаю какие это числа.
поправь, люди же смеются. беседа между 2м и 3м, а 1ый сидит и посмеивается - или он тоже не знает, какие числа загадал? )
У одного султана было два мудрых визиря. Захотел он проверить, насколько они сообразительны. Позвал он их обоих и сказал:
- Я загадал два числа от 2 до 100. Вы должны их мне назвать.
При этом султан сообщил первому визирю произведение этих чисел, а второму - их сумму.
Первый визирь подумал и говорит:
- Я не знаю что это за числа
На что второй ответил:
- Я был в этом уверен.
Тогда первый говорит:
- В таком случае, я знаю, что это за числа.
Второй:
- Тогда и я знаю, что это за числа.
Какие числа загадал султан? Определи их, читатель, и ты окажешься мудрее обоих мудрецов, ибо они узнали числа, зная их сумму или произведение, а ты же не знаешь об этих числах ничего!
Это ещё одна из задач математического фольклора, способных спровоцировать форумную войну, будучи загаданной в интернете. Поэтому постараемся разобрать её решение довольно подробно.
Решение
Обозначим сумму чисел как S, а их произведение - как P. Сами числа пусть будут x и y x+y=S, xy=P.
Разберём реплики визирей.
- Я не знаю что это за числа, – сказал первый визирь (ему было сообщено P).
Отсюда мы извлекаем информацию о том, что x и y – это не пара простых чисел. Кроме того, их произведение не может быть однозначно разложено на два множителя, не превосходящие ста.
- Я был в этом уверен, – сказал второй визирь (ему было сообщена S).
Зададимся вопросом: в каком случае второй визирь не мог быть на все сто уверенным в том, что первый не угадает числа с первого раза? Во-первых, когда S представляется в виде суммы двух простых чисел. Во-вторых, когда существует такое разложение S в сумму S=a+(S-a), что произведение a(S-a) однозначно раскладывается на множители, меньшие ста.
Таким образом, существует всего десять вариантов значения S, при которых вторым визирем могла быть сказана его реплика. Это числа 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53. Вот эту информацию и получил первый визирь после реплики второго.
- Я знаю что это за числа, – сказал первый визирь.
Итак, первый визирь знает, что xy=P и что x+y=11 или 17 или 23 или 27 или 29 или 35 или 37 или 41 или 47 или 53. Поскольку он может однозначно восстановить числа x и y, то произведение P таково, что сумма его сомножителей для одного варианта разложения равняется одному из десяти допустимых значений (ДДЗ), а для прочих – не равняется. Эту информацию получает перед своей репликой второй визирь.
- Я знаю что это за числа, – сказал второй визирь.
Второй визирь знает сумму чисел и узнал, что для произведения чисел существует единственный вариант разложения на множители, сумма которых равна одному из ДДЗ.
Поскольку он определил числа, то существует единственное разложение суммы S = a+(S-a) такое, что для произведения P=a(S-a) существует единственное разложение на множители P=b*(P/b), такое, что сумма b+P/b равна одному из ДДЗ.
А такое возможно лишь для суммы S=17 и произведения P=52.
Покажем теперь ещё раз как рассуждали мудрецы:
Первый мудрец рассуждает так:
52=2*26=4*13, так что однозначный ответ я получить не могу.
- Я не знаю, что это за числа.
Второй мудрец рассуждает так:
17=2+15, 2*15=30, но и 5*6=30
17=3+14, 3*14=42, но и 6*7=42
17=4+13, 4*13=52, но и 2*26=52
17=5+12, 5*12=60, но и 6*10=60
17=6+11, 6*11=66, но и 3*22=66
17=7+10, 7*10=70, но и 2*35=70
17=8+9, 8*9=72, но и 2*36=72
Значит, первый мудрец в любом случае не сможет однозначно назвать задуманные султаном числа.
О чём и сообщает:
- Я был в этом уверен.
Теперь первый мудрец думает так:
Поскольку второй мудрец был уверен в том, что я с первого раза не назову загаданные числа, то сумма их равна одному из чисел: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 или 53. При произведении, равном 52 мы имеем:
52=2*26; 2+26=28
52=4*13; 4+13=17 – вот это число входит в ДДЗ
Значит, я могу однозначно определить пару загаданных чисел: это 4 и 13.
И говорит:
- Я знаю, что это за числа.
Теперь второй мудрец думает так:
Первый мудрец после моей фразы понял, что сумма чисел равна 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 или 53 и, зная своё произведение, получил однозначный ответ.
Пробуем перемножать числа, дающие в сумме 17:
2*15=30=5*6; 5+6=11 – в этом случае первый мудрец не смог бы однозначно найти числа
3*14=42=2*21; 2+21=23 – и в этом случае тоже
4*13=52=2*26; 2+26=28 – и тут второй вариант произведения не принадлежит указанным выше 10-ти числам, что и позволило первому визирю однозначно узнать загаданные числа. Продолжая перебор, окажется, что этот вариант – единственный, когда сумма множителей альтернативного произведения не равно одному из ДДЗ
5*12=60=3*20; 3+20=23
6*11=66=2*33; 2+33=35
7*10=70=2*35; 2+35=37
8*9=72=3*24; 3+24=27
Так что и второй мудрец может однозначно сказать, что знает загаданные числа.
Чтобы окончательно разобраться с задачей, разберём другой вариант загаданных чисел и поясним, почему данный диалог не мог состояться. Допустим, султан загадал числа 23 и 6.
Итак, первый визирь знает P=138, второй визирь знает S=29
- Я не могу однозначно определить числа, т.к. 138=23*6=46*3=69*2, - подумал первый визирь
- Хе, конечно, не можешь, - подумал второй, - т.к. любое произведение х*(29-х) не представляется однозначно произведением двух сомножителей.
Произошёл первый обмен репликами. Из него первый визирь узнал, что сумма чисел равна одному из (ДДЗ). Пробует:
69+2=71 – не подходит
46+3=49 – не подходит
23+6=29 – подходит!
Значит, он теперь числа может установить однозначно, о чём и сообщает.
Хорошо, а что же делает второй визирь? Он думает:
-Ага, значит, первому визирю было сообщено некоторое произведение P, причём при одном разложении его на множители сумма y1+P/y1 равна одному из ДДЗ (а именно, равна 29), а при остальных разложениях сумма y2+P/y2 не входит в ДДЗ
А дальше – тупик. Поскольку, первый визирь скажет, что отгадал числа и в случае, если были загаданы, к примеру, 2 и 27:
29=2+27; 2*27=54
54=2*27=3*18=6*9
2+27 входит в ДДЗ
3+18=21 не входит в ДДЗ
6+9=15 не входит в ДДЗ
И второй всё ещё не знает, что это была за пара: 23 и 6 или 2 и 27, и его последняя реплика в этом случае будет невозможна.
Ключевой момент в решении – существование такого S, входящего в ДДЗ, что для единственного P=a(S-a) существует единственное b+P/b, что входит в ДДЗ
Так что все 4 реплики могли быть произнесены только если были загаданы числа 4 и 13.
Раз 3-й не знал сразу ответ, значит это не пара "1 и простое число". Раз этой информации хватило 2-му, то известную ему сумму можно получить из двух натуральных чисел ровно двумя способами. Этому требованию удовлетворяют только 2 значения суммы: 4 и 5. Но отброшенный вариант должен являть собой 1 и простое число, значит 5 не может быть суммой. Отсюда получаем, что загаданы были две двойки.
> Раз 3-й не знал сразу ответ, значит это не пара "1 и простое число". Раз этой информации хватило 2-му, то известную ему сумму можно получить из двух натуральных чисел ровно двумя способами. Этому требованию удовлетворяют только 2 значения суммы: 4 и 5. Но отброшенный вариант должен являть собой 1 и простое число, значит 5 не может быть суммой. Отсюда получаем, что загаданы были две двойки.
> Не совсем понятно, почему 5 не может быть суммой?
diagel ответил уже. 2 и 2.
логика такая:
2й рассуждал так: - 4 сложное число. Значит или 2+2 или 3+1
3й примерно также: - 4 либо 4*1 либо 2*2
ответом "я не знаю" они сообщили друг другу, что и сумма и произведение сложные числа. дальше 2й математик исключил вариант 3+1 (произведение дает простое число), а 3й исключил 4*1 (сумма дает простое число)
Шутка из той же серии, попроще. В кабак заходят три математика. Бармен:
- вам всем как обычно, по два пива?
1-й математик: - не знаю.
2-й математик: - не знаю.
3-й математик: - да.
просто в твоем варианте второй не смог бы после фразы третьего гарантированно сказать
"о, теперь я ЗНАЮ, какие это числа", т.к. вариантов все еще остается больше одного, а в случае 2 и 2 - он может это сказать:
Смотри, 2й слышит сумму 4, третий слышит произведение 4.
2й видит 2 варианта этой суммы: 1+3 и 2+2, поэтому говорит:
"я не знаю, какие это числа".
Третий тоже видит 2 варианта произведения: 1*4 и 2*2. Оба эти варианта имеют вариативные суммы (5 раскладывается на 1+4 и 2+3, а 4 как мы уже знаем - на 1+3 и 2+2), поэтому ответ второго для него несодержателен пока. В любом случае, он говорит:
"я не знаю, какие это числа"
А вот второй уже, услышав это от третьего, сразу понимает, что третий не мог услышать 3 в качестве произведения (иначе он бы сказал, что знает числа) - и значит, но отбрасывает вариант 1+3 и остается только один: 2+2 - поэтому он заявляет:
"О! А теперь я знаю какие это числа."
Вот тут-то и третий понимает, что раз второй сумел отбросить один вариант благодаря его фразе, значит, это не 1*4 (т.е. не 5 у второго - т.к. тогда бы он не смог отбросить бы "неправильный" вариант после фразы третьего - ибо и 1*4 и 2*3 дают неопределенность), и он тоже понимает ,что он может оставить лишь один вариант - это 2*2.
Дед, поправь условия, что числа натуральные, и первым говорит, что не знает тот, кому сказали произведение, потому как если это простое число, то он МОЖЕТ сразу знать числа. Тот кто знает сумму МОЖЕТ сразу знать числа, только если сумма 2 или 3
> > > 3 и 4, не?
> >
> > а чем 2 и 3 хуже? )
>
> А еще 2 и 6 - полностью удовлетворяют условию задачи.
Вообще, нет. Ни одна из этих пар: (3 и 4), (2 и 3), (2 и 6) не удовлетворяет условию задачи.
Разберу 2 и 6.
2+6=8 - слышит второй, 2*6=12 - слышит третий.
второй: 8 - имеет много вариантов: 1+7, 2+6, 3+5, 4+4, говорит:
"не знаю, что это за числа"
третий: 12 - имеет много вариантов: 1*12, 2*6, 3*4 - без слов второго он не знает чисел, но и слова второго не помогают отбросить ни один из вариантов, т.к. и 1+12=13 имеет несколько вариантов разложений суммы (2+11, 3+10 и т.д.), и 2+6=8, и 3+4=7, говорит:
"не знаю, что это за числа"
второй: а, собственно, сильно ли ему слова третьего помогли? не слишком - он может отбросить лишь 1+7 (т.к. 1*7=7 имеет лишь один вариант и третий бы знал свои числа), при этом все так же у второго остается три варианта возможного разложения 8 на сумму двух чисел - это 2+6, 3+5, 4+4 - все эти варианты, будучи представленными произведением (2*6=12 - уже расписали, 3*5=15 - это еще и 1*15=15, а 4*4=16 - вообще дает дополнительных два варианта 1*16, 2*8) позволили бы третьему не знать свои числа - и значит и второй не может выбрать между ними.
Сейчас, сейчас
1-й: Не знаю какие это числа.
2-й: И я тоже не знаю.
1-й: О! А теперь я знаю какие это числа.
2-й: Я тоже знаю.