На самом деле задача действительно для шестиклашек. Первая задача вычисляется в уме. Вторая только чуть сложнее, решается за пару минут с помощью ручки и клочка бумаги, да и то, если как у меня, память не очень. А так и в уме можно решить.
Да элементарно же, я вот думаю, что решил бы в 6 классе - тут же на простую сообразительность задача. По крайней мере первую точно решил бы - там всего-то надо от половины площади прямоугольника отнять площадь круга. Элементарней некуда!
Вот второй тоже просто. Вычисляем площадь квадрата с вписанным в него кругом. Отнимаем от площади квадрата площадь круга. Делим на 4 - это площадь маленьких треугольников, образованных в углах прямоугольника кругами.
Площадь закрашенная - это сумма 3-х таких треугольников + 2/3 такого треугольника (2/3 потому что треугольник делится диагональю на 2/3 - прямой угол 30 и 60 градусов).
> Вычисляем площадь квадрата с вписанным в него кругом. Отнимаем от площади квадрата площадь круга. Делим на 4 - это площадь маленьких треугольников, образованных в углах прямоугольника кругами. > Площадь закрашенная - это сумма 3-х таких треугольников + 2/3 такого треугольника (2/3 потому что треугольник делится диагональю на 2/3 - прямой угол 30 и 60 градусов).
> Площадь закрашенная - это сумма 3-х таких треугольников + 2/3 такого треугольника (2/3 потому что треугольник делится диагональю на 2/3 - прямой угол 30 и 60 градусов).
Погоди-погоди. Угол-то да, 30 градусов, но как отсюда следует, что площадь маленькой фигурки составляет треть от "угла"?
Да какие тангенсы??? Если отталкиваться от точки соприкосновения кругов, то получается прямой треугольник с катетами 10 на 5. При соотношении катетов прямоугольного треугольника, как 2 к 1 углы получаются 30 и 60. 30% от 90% и выходит 2/3.
Ребята - это же так просто!
> При соотношении катетов прямоугольного треугольника, как 2 к 1 углы получаются 30 и 60. 30% от 90% и выходит 2/3.
Как мне тут правильно подсказали, соотношение катетов - это тангенс. Соответственно, арктангенс(1/2) = 26,6 градусов (приблизительно), а никак не 30. Чтобы угол был 30, противоположный катет должен соотноситься с гипотенузой как 1/2.
Но даже если бы угол был 30, вывод о том, почему площади соотносятся пропорционально углам, непонятен.
Насчет первой задачи:
А то, что две равных окружности, вписанных "вплотную" в прямоугольник делятся его диагональю на симметрично равные площади - это какая-то очень известная теорема, доказательством которой можно каждый раз пренебрегать, а-ля пифагором? Или как? (с математикой у меня плохо))
По ссылке на оригинальную публикацию пишут, что вторая задача в программу шестого класса китайской школы не входит. Это просто опечатка, которую кто-то растиражировал, не разобравшись. В шестом классе[censored] первую задачу. Вторая для шестого слишком сложная и без тригонометрии не решается, что вполне очевидно.
> А то, что две равных окружности, вписанных "вплотную" в прямоугольник делятся его диагональю на симметрично равные площади - это какая-то очень известная теорема, доказательством которой можно каждый раз пренебрегать, а-ля пифагором?
Дело не в прямоугольнике. Диагональ проходит строго через точку касания двух окружностей одинакового радиуса. Именно из этого следует, что она отсекает от них куски одинакового размера - легко проверить по формуле площади соответствующих частей окружности (забыл уже, как они там правильно называются).
Да там округленно я считал. Гипотенуза всего 11,2, так что угол все равно очень близок к 30, при желании можно легко высчитать. А почему пропорционален ясно - треугольник-то делимый равносторонний
вроде сходиться, проверьте :) (формулу сектора круга вроде проходят в 9 классе, но если ее знаешь то задачу можно легко решить в 6 классе и на калькуляторе получить верный ответ)
r - радиус круга
P - число пи
sqrt - корень
Площадь 1 картинки красной:
S = r^2 * ( 4 - P) = приблизительно 21.46
берем половину площади прямоугольника S1 = 4 * r^2 отнимаем площадь круга S2 = P * r ^2)
Площадь маленького куска (белый):
D = r^2 * (3 * sqrt(3) - P) / 12 = приблизительно 4.28
берем одну восьмую часть прямоугольника D1 = r^2, отнимаем площадь большого кривого треугольник D2 = S / 4 = r^2 * (1 - P / 4) и отнимаем площадь сектора D3 = 1/2 * ( 2/3 * P - sin (2/3 * P)) * r ^ 2
Окончательная площадь:
S - D = r^2 * (4 - 11 * P / 12 - sqrt (3) / 4) = приблизительно 17.18
Сейчас, сейчас