yaplakal.com — Парадокс Монти Холла — задача теории вероятности, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Над этой задачей люди ломают головы с 1975 года.
Никакого парадокса. Никакого противоречия здравому смыслу. Ломать голову особо не над чем. Разве что с непривычки.
Известная задача из теорвера, называется "задача с изменением условий после того, как вы сделали первоначальный выбор основываясь на начальной информации": "Вы выбираете наугад, коробочку №1.И тут банкир (который, естественно, знает, где что) прямо на ваших глазах открывает другую коробочку. Тем самым он вам прямо и откровенно даёт информацию о третьей коробочке.
Да всё понятно и логично. Изначально у меня шанс угадать 1 из 3 (небольшой скажем). Это то же самое, если бы тебе сразу предложили открыть одну дверь или сразу две. Меняя решение, ты тем самым, выбираешь (открываешь)две двери - просто порядок действий более сложный. Так что я бы даже сказал что при смене шанс выиграть 66 % а не 50
Банкир ЗНАЕТ где лежат деньги. Он не может открыть коробку, за которой мульен - он выбирает из 2 коробок максимум (если ты выбрал коробку за которой деньги) или у него нет выбора и он просто открывает одну пустую, а за второй мульен. Итого шансы при перевыборе коробки - выше 50%..
> Тем самым он вам прямо и откровенно даёт информацию о третьей коробочке.
Нихуя он не дает. Третья коробочка может оказаться как выигрышной так и нет. Банкир ведь открывает одну из коробочек в любом случае, безразницы что вы выбрали в первый раз машину или козу. Т.е. то что банкир открыл невыигрышную коробку не значит что вторая оставшаяся выиграшная.
Вероятность того что ты выбрал херовую коробку - 66%.
Того что удачную, 33%.
Когда остаётся 2 коробки, вероятности остаются теми же.
То есть с вероятностью 66%, ты выбрал плохой вариант и логично, что выгодно выбор поменять, пока есть возможность.
> Когда остаётся 2 коробки, вероятности остаются теми же.
> То есть с вероятностью 66%, ты выбрал плохой вариант и логично, что выгодно выбор поменять, пока есть возможность.
Условия поменялись а вероятности остались теми же? почему?
Легче всего понять почему это работает, поменяв условия: предположим, что коробочек не 3, а, допустим, 100. В одной из них приз. Вы выбираете наугад одну коробочку, понятно, что шанс угадать составляет 1%. После этого банкир открывает 98 пустых коробочек. Какая вероятность того, что в последней коробочке приз? 99%.
> а почему работает так толкового объяснения и не вижу
Потому что в [двух] коробках шанс найти приз в [два] раза больше, чем в [одной]!
Это очевидно даже младенцу. Странно было бы, если бы оно не работало.
> А почему 99% это не вероятность выбрать неверную коробочку если первая была верной?
Потому что там на 99, а 67.
>Лично для меня непонятен именно этот момент.
Если до сих пор непонятно, что 67 > 33, то медицина бессильна.
> Потому что в [двух] коробках шанс найти приз в [два] раза больше, чем в [одной]!
> Это очевидно даже младенцу. Странно было бы, если бы оно не работало.
Это пиздец какое сильное колдунство.
> Потому что там на 99, а 67.
Это еще более сильное колдунство.
> Если до сих пор непонятно, что 67 > 33, то медицина бессильна.
А это просто пиздец какой-то, приписывать оппоненту то чего нет на самом деле.
"Умело подпущенный долбоеб веселит и развлекает контингент" (с)
Однажды на совещании товарища Сталина с деятелями науки прозвучала реплика от метеорологов: "Мол, сейчас наши советские метеорологи достигли в своих прогнозах большей результативности чем при царизме - 33 % прогнозов сбываются".
На что тов. Сталин ответил: "Думаю, что знаю, как повысить в два раза этот показатель."
Все: "???".
Сталин: "А вы продолжайте делать все как и раньше, только результаты прогнозов меняйте на противоположные".
"– Да все очень просто, – сказал Трикс. – Вы представьте себе, что это не барон открывал вторую дверь. Вы представьте, что я вначале выбрал и указал ту дверь, которую точно открывать не собирался – а потом открыл две другие! Вот вам и два шанса к одному!"
Недотепа, С. Лукьяненко.
Вообще лично для себя "объясняю" так:
Когда двери три, вероятность что за дверью машина - 1/3.
Мы сделали выбор в пользу одной из них. Вероятность что за ней машина также 1/3. А вероятность что за какой-то из оставшихся двух дверей - 2/3. Т.е. если бы нам предложили выбрать: либо одна дверь которую выбрали в начале либо оставшиеся две двери вместе взятые, то мы несомненно бы выиграли выбрав две двери. Но нам этого не предлагают, а убирают из этих двух дверей одну которая точно проигрышная. При этом вероятность 2/3 остается на второй двери. Таким образом делая повторный выбор мы выбираем между 1/3 и 2/3.
P.S. Опять же повторюсь, почему вероятность 2/3 не распределяется по двум оставшимся дверям включая уже выбранную нами мне непонятен.
В первый раз я о парадоксе узнал как раз из этой передачи. В ней кстати так и не смогли внятно объяснить почему так, а лишь проверили и продемонстрировали на практике что это действительно так. Камрад я не спорю с фактом того что парадокс работает, я лишь хочу понять как именно.
[оффтоп моде он]
Интересно, почему именно мои комменты минусуются? Вроде ни с кем не спорю, на хуях не катаю, просто пытаюсь разобраться в вопросе.
[оффтоп моде офф]
> Вот камрад честно прочитал твою статью и все равно не понимаю почему вероятность после изменения условий меняется на 2/3 а не 1/2.
Суть в том, что игру можно переформулировать так, что исход становится гораздо более понятным.
1. Случайным образом выбирается дверь — игрок не имеет никакой информации, поэтому его выбор абсолютно случаен
2. Игроку предлагают выбор между ней и двумя другими. Хотя формально одну из двух оставшихся дверей открывает ведущий, фактически игроку позволяют открыть обе оставшиеся двери, если он сделает свой выбор в пользу этого варианта. Для нагнетания напряжения из этих двух дверей первой всегда открывается та, за которой нет машины, но вторую-то ему тоже гарантированно позволят открыть.
Вероятность того, что машина за одной из двух оставшихся дверей — 2/3. Вероятность того, что она за выбранной на первом шаге — 1/3.
А я разве по другому написал?))). Как можно не понять после моего обьяснения. Тебе предложили угадать за какой из 3-х дверей машина. Предположим, ты думаешь что машина за дверью №1, зная что решение потом можно поменять, ты "открываешь" любую др дверь, за которой по твоему нет приза, предположим дверь №2 и тогда после действий ведущего ты либо открываешь задуманную дверь или меняешь её на др (если её открыл ведущий). Таким образом если ты изначально угадал за какой дверью нет машины (а это шанс 2/3), то ты 100% выигрываешь приз.
>Интересно, почему именно мои комменты минусуются? Вроде ни с кем не спорю, на хуях не катаю, просто пытаюсь разобраться в вопросе.
Наверное, надмозги считают, что спрашивать про что-то незнакомое - это моветон :)
Я понимаю, почему у Вас возникают такие вопросы: Вы считаете события независимыми (т.е. сначала было 3 комнаты - вероятность выигрыша 1/3, а потом стало 2 - значит 1/2), но они зависимые и происходят в одной и той же игре и потому вероятность рассчитывается уже по другим формулам. С другой стороны, теория вероятности почти неприменима на практике в нашем привычном масштабе времени и количестве повторений. Это математическая абстракция, а не руководство к действию.
Это как с монеткой: если подбрасывать её 10 000 раз, то усредненно может получиться, что и орел и решка выпадают в 50% случаев. Но вот если Вы хотите сделать прогноз на следующее выпадание, то за решкой, как понимаем, не обязательно последует орел (и наоборот).
> Я понимаю, почему у Вас возникают такие вопросы: Вы считаете события независимыми (т.е. сначала было 3 комнаты - вероятность выигрыша 1/3, а потом стало 2 - значит 1/2), но они зависимые и происходят в одной и той же игре и потому вероятность рассчитывается уже по другим формулам. С другой стороны, теория вероятности почти неприменима на практике в нашем привычном масштабе времени и количестве повторений. Это математическая абстракция, а не руководство к действию.
Именно поэтому у меня в универе с тервером были постоянно проблемы. Приходилось зубрить как ботану какому. ))
Для тех, кому все еще трудно ухватить принцип этой задачи - проще и нагляднее представить ее таким образом. Представьте, что у вас есть не 3 комнаты, а 100. За одной из дверей находится автомобиль, за остальными дверьми ничего нет.
Вы делаете начальный выбор - вероятность угадать правильную дверь - 1%.
После этого ведущий открывает 98 дверей за которыми ничего нет. Теперь у вас выбор всего из двух дверей - выбранной изначально и одной дверью оставленной ведущим. Все еще кажется, что шансы фифти-фифти?
В сумме вероятность всегда должна составлять 100%. И поскольку вероятность того, что автомобиль за дверью, выбранной изначально - 1%, вероятность того, что он за дверью, оставленной закрытой ведущим, становится 99%.
Вывод - в таком случае безусловно нужно выбирать дверь, предлагаемую ведущим.
> P.S. Опять же повторюсь, почему вероятность 2/3 не распределяется по двум оставшимся дверям включая уже выбранную нами мне непонятен.
Присоединяюсь. Мне тоже не понятно, почему вероятность не становится 1.5/3 для оставшихся дверей.
P.S. Хотя нет, понял. Вероятность не распределяется из-за того, что ведущий не может открыть(исключить) уже выбранную игроком дверь, она исключена из выбора, поэтому для неё вероятность открытия находится на константном, изначальном уровне. Плюс он не может открыть дверь с автомобилем по правилам.
Разобрались?
А теперь вывихните себе мозг ещё раз!
Допустим, ведущий [не знает], за какой из дверей автомобиль! В остальном всё точно так же. Мы выбираем дверь, ведущий открывает одну из оставшихся, там коза.
Каковы наши шансы в этом случае?
> P.S. Опять же повторюсь, почему вероятность 2/3 не распределяется по двум оставшимся дверям включая уже выбранную нами мне непонятен.
смотри. если совсем наглядно. увеличим количество коробок до 100. из них одна верная (с выигрышем), 99 пустые. если ведущий открыл 98 пустых коробок, у тебя остаются 2 коробки, из которых случайно угадать верную можно с вероятность 50% (либо в этой, либо в той). здесь все понятно. теперь, что происходит, когда ты выбираешь одну коробку перед тем, как ведущий откроет 98 пустых из оставшихся. вероятность того, что ты выбрал верную коробку 1% (1 коробка из 100). вероятность того, что верная коробка среди не выбранных 99% (99 из 100). теперь фокус. легче представить, что эти 99 коробок теперь принадлежат ведущему. у тебя одна коробка с вероятностью 1%, у него 99 коробок с вероятностью что там верная 99%.
теперь, по сути, ты можешь
а) отдать ему одну свою (1%), и взять все его 99 коробок (99%). он даже тебе заранее откроет из них 98 пустых. но это и без открываний ясно, что пустых там в любом случае минимум 98.
б) оставить себе свою одну свою коробку(1%) и получить еще заведомо 98 пустых, которые сам понимаешь ничего тебе не добавят.
Выбираем дверь -- веротяность выйграть 1/3.
Вероятность, что машина находится за другими дверями, равна 2/3.
Ведущий наугад выбирает дверь -- вероятность выйграть автомобиль равна (2/3)*(1/2).
Отсюда получаем, что вероятность ведущего выбрать козу равна 1 - (2/3)*(1/2) = 2/3.
Об этой вероятности идет речь в условии задачи.
При этом условии, если изменить выбор изначальной двери на оставшуюся, то выйгрыш будет происходить в двух случаях из трёх, т.е. 2/3.
Итоговая вероятность полуается как (2/3)*(2/3) = 4/9, что больше изначальной 1/3.
Ответ: если ведущий выбрал козу, то нужно выбирать оставшуюся дверь, и мы выйграем с вероятностью 4/9.
> Ответ: если ведущий выбрал козу, то нужно выбирать оставшуюся дверь, и мы выйграем с вероятностью 4/9.
Точнее 4,5/9 :)
Где-то в рассуждениях ошибка.
[доказательство не строгое, только для наглядности]
Допустим, делаем серию из 999 игр.
Для простоты всегда выбираем дверь номер 1 (ну или дверь, которую мы выбираем назовём дверь № 1), ведущий всегда выбирает дверь номер 2. Оставшаяся дверь - дверь номер 3, на которую нам предлагают поменяться. Шанс нахождения автомобиля за каждой из дверей 1/3, так как выбор делается всегда случайным образом.
В 333 играх ведущий обнаруживает автомобиль, после чего мы проигрываем. Но эти случаи мы не рассматриваем, так как по условию ведущий обнаружил козу.
В 666 случаях ведущий обнаружил козу, при этом в 333 из них автомобиль за первой дверью, а в 333 случаях - за третьей. То есть, у нас одинаковый шанс, достать автомобиль, и он не зависит от того, меняем мы выбор или нет.
[В результате по новым правилам]:
Если измерять шансы [до открытия дверей], то наш шанс - 1/3, независимо от того, меняем мы выбор или нет.
Если за дверью оказывается [коза], то наши шансы - 1/2, независимо от того, меняем мы выбор или нет.
Если за дверью автомобиль, то наши шансы - 0, очевидно.
Это у тебя неправильные рассуждения.
И абсолютно нелепый ответ: такого не может быть, что вероятность 1/3 превратится в 1/2.
Вот ты написал задачу:
> Допустим, ведущий [не знает], за какой из дверей автомобиль! В остальном всё точно так же. Мы выбираем дверь, ведущий открывает одну из оставшихся, там коза.
> Каковы наши шансы в этом случае?
Немного преформулировав вопрос, получим его в следующем виде:
если ведущий открывает дверь, а там стоит коза, то стоит ли нам менять дверь?
Т.е. у нас есть только два варианта: сохраняем старую дверь или меняем на новую. И для каждого их этих случаев нужно рассчитать верятность выбора автомобиля.
В первом случае верятность равна 1/3. Тут вопросов, я думаю, не возникает.
Рассмотрим второй случай.
Пусть есть серия из 999 игр.
Мы выбираем первую дверь и 333 раза проёбываем игру, когда ведущий выбирает автомобиль.
Остается 666 игр.
Возможны следующие конфигурации (К -- коза, А -- автомобиль):
1-я дверь 2-я дверь 3-дверь
----А----------К----------К----
----К----------А----------К----
----К----------К----------А----
Помним, что изначально мы выбрали 1-ю дверь, что ведущий выбрал козу, и что мы всегда изменяем выбор двери.
Отсюда становится понятно, что выбирать автомобиль мы будем в 2 случаях из 3, т.е. (2/3)*666=444 раза.
Т.о. вероятность будет равна 444/999 = 4/9.
Получаем ответ: если ведущий выбрал козу, а мы не меняем дверь, то вероятность отсается равной 1/3. А если меняем, то увеличиваем шансы, т.к. вероятность уже равна 4/9.
> Получаем ответ: если ведущий выбрал козу, а мы не меняем дверь, то вероятность отсается равной 1/3. А если меняем, то увеличиваем шансы, т.к. вероятность уже равна 4/9.
А в сумме это 7/9.
Куда ещё 2/9 девается?
И уточни ещё раз с какого моменты ты считаешь шансы. С начала игры, когда все три двери закрыты или с момента, когда ведущий открыл одну дверь наугад и обнаружил там козу?
А то складывается ощущение, что ты складываешь вероятности принципиально разных событий.
Оно не должно давать единицу.
> И уточни ещё раз с какого моменты ты считаешь шансы. С начала игры, когда все три двери закрыты или с момента, когда ведущий открыл одну дверь наугад и обнаружил там козу?
Не могу ответить на вопрос, т.к. не понимаю его.
Там для проверки в принципе можно написать программу-симуляцию и эксперементально подсчитать шансы.
Суммарная вероятность всех вариантов некоторого события должна всегда давать 1. Так тут мы рассматриваем событие - выигрыш при открытии выбранной двери. Расстановка такая:
мы выбрали одну дверь (дверь №1)
Ведущий открыл дверь №2 - там коза, но нет выигрыша
Есть дверь №3
Этот выигрыш может достаться нам с вероятностью p1, если мы угадали, либо с вероятностью p2 может остаться у ведущего, если он лежит за дверью № 3. Оставшихся дверей всего 2 => p1+p2=1, так как по правилам выигрыш должен быть хотя бы за одной из них.
Если мы меняем свой выбор, то p1 и p2 просто меняются местами, но в сумме всё равно дают 1, так как выигрыш существует и он за одной из этих двух дверей.
Ты утверждаешь, что p1=1/3, а p2=4/9. Поэтому мне интересно, на вероятность какого исхода в твоих рассуждениях уходят оставшиеся 2/9.
>Не могу ответить на вопрос, т.к. не понимаю его.
Напоминаю, только что присоединившимся зрителям, что мы рассматриваем гипотетический случай, когда ведущий точно НЕ ЗНАЕТ, где автомобиль.
[ситуация 1]:
Перед нами три двери, мы выбрали одну, ведущий начинает открывать другую... Мы пока не знаем, что там.
Сейчас у игры возможны 3 исхода: 1/3 - за дверью машина (проигрыш) и два исхода составляют в сумме шанс 2/3 = (p1 + p2) угадаем мы нужную дверь из оставшихся или нет (пока не рассматриваем, смену выбранной двери и соотношение шансов p1 к p2).
В случае, если p1=p2 получаем шанс 1/3 на выигрыш до начала игры (и тут p1 + p2 не равно единице, так как есть ещё третий вариант развития событий, а все втроём они дают 1).
[ситуация 2]:
Ведущий уже открыл дверь и там оказалась коза. Выдыхаем с облегчением и начинаем прикидывать шансы заново уже с этой точки отсчёта. Приз либо за дверью, которую мы выбрали изначально (p1), либо за третьей дверью (p2). То есть в этом случае p1 + p2 = 1
Если мы считаем, что p1 = p2, то наши шансы угадать равны 1/2 и не изменяются при смене двери.
Если мы считаем, что парадокс Монти-Холла делает p2 вдвое больше p1, то шанс найти приз за первой дверью 1/3, а за второй - 2/3, если за точку отсчёта мы взяли момент когда дверь с козой уже открыта.
Вот теперь, разложив по полочкам, я, наконец, понял куда делись 2/9 в твоём рассуждении:
Точка отсчёта - начало игры [до открытия двери].
3/9 - шанс, что ведущий откроет машину и мы автоматом проиграем.
4/9 - шанс, что мы выиграем приз, если поменяем свой выбор
2/9 - шанс, что мы выиграем приз, если не будем менять свой выбор.
Такая у тебя раскладка получается.
Но, согласись, что наш шанс выбрать одну из дверей и обнаружить именно за ней автомобиль = 1/3, а никак не 2/9. И этот шанс не меняется, чтобы там ведущий ни делал с другими дверями (при точке отсчёта до начала игры). То есть, ошибка у тебя.
> Написал программу и проверил.
> Я ошибался.
> Действительно, если ведущий выбирает козу, то дверь можно не менять.
Поздравляю. Похоже, зря я писал портянку выше.
А вот теперь, чтобы окончательно сломать мозг, предлагаю такой вариант:
Ведущий ЗНАЕТ, за какой из дверей автомобиль, но может по собственному желанию [открывать] или [не открывать] дверь с козой. Во втором случае он предлагает сменить свой выбор на любую из двух оставшихся дверей.
> Напоминаю, только что присоединившимся зрителям, что мы рассматриваем гипотетический случай, когда ведущий точно НЕ ЗНАЕТ, где автомобиль.
в случае трёх дверей это аналогично ситуации, когда игрок выбрав одну дверь, может открыть одну из двух оставшихся наугад. не важно кто именно делает случайный выбор (ведущий или игрок). важна случайность выбора. без длинных портянок ясно, что менять дверь при таких условиях смысла нет.
> Чё делать?
> Ведущий ЗНАЕТ, за какой из дверей автомобиль, но может по собственному желанию [открывать] или [не открывать] дверь с козой. Во втором случае он предлагает сменить свой выбор на любую из двух оставшихся дверей.
>
> Чё делать?
неважно что. вероятность останется прежней. 1/3. если дверь с заведомой козой не будет открыта ведущим - это равносильно ситуации "ты выбрал дверь, а чё бы тебе не выбрать любую другую исходя из тех же самых исходных данных?" смысла менять нет.
Сейчас, сейчас
Кто хочет потренироваться:[censored]